Archive for Mei 2017
penerapan teorema pythagoras 1
Sejarah munculnya teorema pythagoras
Pembuktian rumus
untuk sebarang segitiga siku – siku ABC yang siku – siku di C dengan AB = c, BC = a, dan AC = b, berlaku :
a2 + b2 = c2
Ilustrasi gambar :
Bukti :
Misal, diketahui segitiga ABC siku – siku di C.
AB = c, BC = a, dan AC = b
Buat garis tinggi dari C yang memotong AB di titik D sehingga sudut CDE siku – siku,
akibatnya, menurut teorema 1 segitiga ACD dan ABC sebangun. Sehingga
sehingga menurut teorema 1, segitiga BCD dan ABC sebangun.
Akibatnya :
dari (1) dan (2), diperoleh :
berarti rumus di atas telah TERBUKTI
SUMBER :
http://askyourdaddy.blog.uns.ac.id/2014/09/10/pembuktian-teorema-pythagoras/
https://www.scribd.com/document/349554116/Sejarah-Dan-Cara-Tentang-Teorema-Pythagoras
pythgoras {582 SM – 496 SM} lahir di pulau Samos, di daerah lonia, Yunani Selatan. Salah satu peninggalan Pythagoras yang paling terkenal hingga saat ini adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisinya.
Teorema Pythagoras mendapat namanya dari seorang ahli matematika Yunani
kuno Pythagoras, karena dianggap yang pertama memberikan bukti teorema
ini. Namun diyakini bahwa orang-orang mengetahui hubungan khusus antara
sisi dari segitiga siku-siku, jauh sebelum Pythagoras.
untuk sebarang segitiga siku – siku ABC yang siku – siku di C dengan AB = c, BC = a, dan AC = b, berlaku :
a2 + b2 = c2
Ilustrasi gambar :
Bukti :
Misal, diketahui segitiga ABC siku – siku di C.
AB = c, BC = a, dan AC = b
Buat garis tinggi dari C yang memotong AB di titik D sehingga sudut CDE siku – siku,
akibatnya, menurut teorema 1 segitiga ACD dan ABC sebangun. Sehingga
sehingga menurut teorema 1, segitiga BCD dan ABC sebangun.
Akibatnya :
SUMBER :
http://askyourdaddy.blog.uns.ac.id/2014/09/10/pembuktian-teorema-pythagoras/
https://www.scribd.com/document/349554116/Sejarah-Dan-Cara-Tentang-Teorema-Pythagoras
contoh soal dan pembahasan teorema pythagoras
contoh soal 1.
Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 15 cm. Hitunglah panjang diagonal ruang AG ?
Penyelesaian :
Berdasarkan gambar diatas, perhatikanlah segitiga ACG. Karena
segitiga ACG siku-siku di titik C, maka panjang diagonal ruang AG dapat
dicari menggunakan rumus sebagai berikut.
AG² = AC² + CG²
Panjang diagonal sisi AC adalah
AC² = AB² + BC²
AC² = 15² + 15²
AC² = 225 + 225
AC² = 450
AC = √450
AC = 15√2 cm
Jadi panjang diagonal ruang AG adalah
AG² = AC² + CG²
AG² = (15√2)² + 15²
AG² = 450 + 225
AG = √675
AG = 15√3 cm
contoh soal 2.
Diameter 1 = D1 = 24 cm
contoh soal 3.
Sebuah kapal berlayar sejauh 15 km ke arah Utara, kemudian berbelok kearah Barat sejauh 36km. hitunglah jarak dari titik awal keberangkatan kapal ke titik akhir!
Diketahui : AB = 15 km
BC = 36 km
Ditanyakan: Jarak titik awal ke akhir = AC
Jawab :
Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 15 cm. Hitunglah panjang diagonal ruang AG ?
Penyelesaian :
AG² = AC² + CG²
Panjang diagonal sisi AC adalah
AC² = AB² + BC²
AC² = 15² + 15²
AC² = 225 + 225
AC² = 450
AC = √450
AC = 15√2 cm
Jadi panjang diagonal ruang AG adalah
AG² = AC² + CG²
AG² = (15√2)² + 15²
AG² = 450 + 225
AG = √675
AG = 15√3 cm
contoh soal 2.
Panjang salah satu diagonal belahketupat adalah 24 cm. Jika luas belahketupat 120 cm2, keliling belahketupat adalah...
A. 30 cm
B. 40 cm
C. 48 cm
D. 52 cm
Jawaban:
Dik:
Luas = 120 cm2
Diameter 1 = D1 = 24 cm
Dit: Keliling
Dari rumus luas belah ketupat kita tahu:
Luas = 1/2 x d1 x d2
120 = 1/2 x 24 x d2
sehingga d2 = 10 cm
Keliling belah ketupat = 4 x sisi
Sebuah kapal berlayar sejauh 15 km ke arah Utara, kemudian berbelok kearah Barat sejauh 36km. hitunglah jarak dari titik awal keberangkatan kapal ke titik akhir!
Penyelesaiannya:
Diketahui : AB = 15 km
BC = 36 km
Ditanyakan: Jarak titik awal ke akhir = AC
Jawab :
Jadi jarak dari titik awal keberangkatan kapal ke titik akhir adalah 31 km.
contoh soal 4.
Sebuah persegi panjang berukuran panjang 24 cm dan diagonalnya 30 cm. Hitunglah lebar persegi panjang tersebut!
Diketahui :
Jadi, lebar persegi panjang adalah 18 cm
Panjang (AB) : 24 cm
Diagonal (BD) : 30 cm
Ditanyakan:
Lebar (AD) : …
Jawab :
Diagonal (BD) : 30 cm
Ditanyakan:
Lebar (AD) : …
Jawab :
Contoh Soal 5.
Perhatikan gambar di bawah ini !
Besar ∠ABD adalah ….
Penyelesaian:
Untuk menjawab soal ini hal pertama yang Anda
cari adalah nilai x. Dalam hal ini ∠ABD dan ∠CBD merupakan sudut saling pelurus, maka:
∠ABD + ∠CBD = 180°
7x° + 5x° = 180°
12x° = 180°
x = 15°
∠ABD = 7x°
∠ABD = 7. 15°
∠ABD = 105°
Jadi, besar ∠ABD adalah 105° belajar mudah teorema pythagoras
Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut khusus
a. Sudut 30° dan 60°
Segitiga ABC diatas merupakan segitiga sama sisi dengan AB = BC = AC = 2x cm dan ∠A = ∠B = ∠C = 60º. Dikarenakan CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi ∠C, sehingga
∠ACD = ∠BCD =30º. Dan diketahui ∠ ADC = ∠ BDC = 90º. Titik D merupakan titik tengah AB, dimana panjang AB = 2x cm sehingga panjang BD = x cm.
Perhatikanlah segitiga CBD. Kita gunakan teorema pythagoras maka diperoleh
CD² = BC² – BD²
CD = √[BC² – BD²]
CD = √[(2x)²-x²]
CD = √[4x²-x²]
CD = √[3x²]
CD = x√3
Dengan demikian diperoleh perbandingan sebagai berikut :
BD : CD : BC = x : x√3 : 2x
BD : CD : BC = 1 : √3 : 2
Perbandingan diatas dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku khusus.
b. Segitiga Siku – siku sama sisi ( segitiga sudut 45° )
Segitiga ABC di atas merupakan segitiga siku – siku sama sisi , dengan sudut siku – siku di B dan ∠CAB= ∠BCA = 45° dan panjang BC = 2x . Dengan demikan , panjang BC = AB , dan BC = 2x . Lalu berapakah panjang AC ?
contoh :
Pada ∆ ABC yang siku-siku di A diketahui bahwa panjang sisi AB = 15 cm, dan panjang sisi BC = 25 cm. Hitunglah panjang sisi AC !
jawab:
a. Sudut 30° dan 60°
Segitiga ABC diatas merupakan segitiga sama sisi dengan AB = BC = AC = 2x cm dan ∠A = ∠B = ∠C = 60º. Dikarenakan CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi ∠C, sehingga
∠ACD = ∠BCD =30º. Dan diketahui ∠ ADC = ∠ BDC = 90º. Titik D merupakan titik tengah AB, dimana panjang AB = 2x cm sehingga panjang BD = x cm.
Perhatikanlah segitiga CBD. Kita gunakan teorema pythagoras maka diperoleh
CD² = BC² – BD²
CD = √[BC² – BD²]
CD = √[(2x)²-x²]
CD = √[4x²-x²]
CD = √[3x²]
CD = x√3
Dengan demikian diperoleh perbandingan sebagai berikut :
BD : CD : BC = x : x√3 : 2x
BD : CD : BC = 1 : √3 : 2
Perbandingan diatas dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku khusus.
b. Segitiga Siku – siku sama sisi ( segitiga sudut 45° )
Segitiga ABC di atas merupakan segitiga siku – siku sama sisi , dengan sudut siku – siku di B dan ∠CAB= ∠BCA = 45° dan panjang BC = 2x . Dengan demikan , panjang BC = AB , dan BC = 2x . Lalu berapakah panjang AC ?
Untuk mecari panjang AC , maka kita masukkan pada rumus pythagoras sebagai berikut :
AC = √ BC2 + AB2
= √2x2 + 2x2
= √8x2
=2x √2
menggunakan rumus teorema pythagoras
a. menghitung panjang sisi segitiga siku-sikujika sisi lain diketahuicontoh :
Pada ∆ ABC yang siku-siku di A diketahui bahwa panjang sisi AB = 15 cm, dan panjang sisi BC = 25 cm. Hitunglah panjang sisi AC !
jawab:
sumber :
https://madematik.wordpress.com/2012/02/04/teorema-pythagoras/pengertian dan rumus teorema pythagoras
Rumus matematika yang sangat familiar dikalangan pelajar yaitu rumus pythagoras, bagi sobat semua juga pastinya sudah tidak asing lagi. pengertian teorema pythagoras jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Sebuah segitiga siku-siku adalah yang mempunyai segitiga sebuah sudut siku-siku ; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus, sehingga bisa dikatakan bahwa jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a+ b = c
Perhatikan gambar di bawah ini:
Segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku yang
memiliki satu sisi tegak (BC),satu sisi mendatar (AB)dan satu sisi miring
(AC).Dalil pythagoras atau rumus pythagoras berfungsi untuk mencari salah satu
sisi dengan kedua sisi diketahui.
sehingga ditemukan Rumus Pythagoras :
sehingga ditemukan Rumus Pythagoras :
b2 = a2 + c2
maka untuk menghitung sisi tegak dan sisi mendatarnya berlaku rumus :
a2 = b2 – c2
c2 = b2 – a2
